신시 필수 문제 하나 - 계단 함수를 적분으로 표현하는 법

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신시 필수 문제 하나 - 계단 함수를 적분으로 표현하는 법

brandy! 2023. 10. 27. 16:05

신시 문제 하나 풀어보고 가겠습니다. 약간 수능식? 사고력을 요하는 문제인데요.

왜냐하면 단순 계산문제가 아니라 개념 응용을 요구하는 문제라서요.

나름 자주 나와서 유명한 유형같기는 한데, 혹시 아직 접해보시지 않은 분들은 꼭 풀어보시기 바랍니다.

이런 유형에 익숙해져야.. 시스템 입출력 관계를 수식 하나로만 던져줘도 모든 입력에 대한 출력을 '정석적인 방법'으로 찾을 수 있습니다.

그럼 문제입니다.

1. what is the impulse response h(t) for this system?

- solution -

impulse response는 입력을 impulse 함수로 넣었을 때의 출력을 찾으라는 말이죠.

즉 입력 $x(t)$가 $\delta(t)$일 때의 $y(t)$를 찾으라는 뜻입니다.. 그러면 저희가 찾는 $y(t)$는

$y(t) = \int_{-\infty}^{t}e^{-(t-\tau)} \delta(\tau + 2) d\tau$ 입니다.

$(\tau + 2)$ term이 거슬리니까 $\tau + 2 = k$ 로 치환합시다. 그러면 해당 적분은

$y(t) = \int_{-\infty}^{t+2}e^{-(t-k+2)} \delta(k) dk$ 형태가 됩니다.

적분상수는 $\tau$니까요, $e^{-(t+2)}$ term은 적분 밖으로 빼줍니다.

그러면 $y(t) = e^{-(t+2)} \int_{-\infty}^{t+2}e^{k} \delta(k)dk$ 입니다.

적분항인 $\int_{-\infty}^{t+2}e^{k} \delta(k) dk$ 는 곧 $\int_{-\infty}^{t+2}\delta(k) dk$입니다.

(impulse 함수의 sampling 특성)

그래서 $y(t) = e^{-(t+2)}\int_{-\infty}^{t+2}\delta(k) dk$네요.

여기서부터가 중요한데요.

적분항 $\int_{-\infty}^{t+2}\delta(k) dk$ 의 값은 t값에 따라 달라집니다. 왜냐하면 적분 구간이 임펄스를 포함하는지의 여부가 적분값을 결정하거든요. 적분 구간이 임펄스를 포함하면 1, 그렇지 않다면 0일 것입니다.

즉

\[\int_{-\infty}^{t+2}\delta(k) dk= \begin{cases}
1 & (t+2) \geq 0 \\
0 & (t+2) < 0
\end{cases}
\]

인데요 뭔가 익숙하시지 않나요??~~ 딱 보면 step function이라는 것을 알 수 있습니다.

위 식은 다름아닌 $\mu(t+2)$입니다.

임펄스 함수와 적분 구간의 조합으로 저렇게 평행이동된 step function을 만들어낼 수 있습니다. 이게 가장 중요한 점이에요.

그럼 $y(t) = e^{-(t+2)} \int_{-\infty}^{t+2}\delta(k)dk$ 에서 적분항 결과가 나왔으니, 해당 결과에 $e^{-(t+2)}$만 곱해주면

\[y(t) = \begin{cases}
e^{-(t+2)} & (t+2) \geq 0 \\
0 & (t+2) < 0
\end{cases}
\]

$y(t) = e^{-(t+2)}\mu(t+2) = h(t)$ 가 되겠습니다.

2. Determine the response of the system when the input $x(t)$ is as shown in the following figure.

- solution -

(첫번째 방법, 정석적 풀이)

$x(t) = \mu(t+1) - \mu(t-2)$

주어진 $x(t)$를 시스템 방정식에 그대로 대입합니다.

$y(t) = \int_{-\infty}^{t}e^{-(t-\tau)} ( \mu(\tau+3) - \mu(\tau) )d\tau$

$y(t) = \int_{-\infty}^{t}e^{-(t-\tau)}\mu(\tau+3) d\tau - \int_{-\infty}^{t}e^{-(t-\tau)}\mu(\tau) d\tau$

step functon은 유효 적분구간을 축소시킵니다.

$y(t) = \int_{-3}^{t}e^{-(t-\tau)} d\tau - \int_{0}^{t}e^{-(t-\tau)} d\tau$

해당 적분 결과는

$y(t) = (1-e^{-(t+3)})\mu(t+3) - (1-e^{-t})\mu(t)$ 입니다.

첫번째 방법은 1번 문제의 솔루션과 같은 흐름입니다. 필요한 입력을 주어진 시스템 방정식에 넣어서 계산하는거죠.

(두번째 방법)

사실 step function에 대한 응답은 impulse 응답의 적분입니다. $h(t)$는 1번 문제에서 찾아놨죠?

즉 $y_{step}(t) = \int_{-\infty}^{t} h(t) dt = (1 - e^{-(t+2)})\mu(t+2) $

$x(t) = \mu(t+1) - \mu(t-2)$

$y(t) = y_{step}(t+1) - y_{step}(t-2)$

$y(t) = (1-e^{-(t+3)})\mu(t+3) - (1-e^{-t})\mu(t)$

문제를 풀어보셨으면 '정석적인 방법'이 무엇을 의미하는지 이해하실 수 있으실 겁니다. 입력과 시스템 방정식이 아무리 복잡하게 생겨도 대입해서 계산하면 출력이 나온다!! 이게 바로 시스템입니다. 다만 1번 문제의 경우 적분 결과가 조금 생소하게 느껴질 수 있는데, step function을 규정하는 저 방법은 숙지해놓으시면 좋을 것 같습니다.

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