보드 플롯과 나이퀴스트의 관계, 두 플롯의 상호 변환을 배워보도록 합시다.
* 본 포스팅은 Illinois Institute of Technology의 강의 자료를 참고하여 작성되었습니다.
이번 포스팅에서는 보드 플롯만 보고 나이퀴스트 플롯을 그리는 직관적 방법을 다루겠습니다.
사실 플롯들은 웬만해서 다 매트랩으로 그려서 쓰지만 제어공학 시험에 자주 나오는 주제같으니까요.
그리고 크게 어렵지 않으니 익혀두면 빠르게 보드 $\rightarrow$ 나이퀴스트 변환을 하실 수 있을겁니다.
나이퀴스트 플롯을 그리기 위해 RHP에서 확장되는 무한반원을 시계방향으로 감는 궤적을 사용합니다.
여기서 중요한 사실 하나는 궤적 (a$\rightarrow$b)와 (c$\rightarrow$a)의 사상 결과가 복소평면에서 실수 축 대칭이라는 점입니다.
사실상 이 두 궤적의 사상만 알면 나이퀴스트를 다 그렸다는 뜻이죠.
그리고 이 중 궤적 (a$\rightarrow$b)의 사상을 보드 플롯만 가지고 그려낼 수 있습니다.
궤적 (a$\rightarrow$b)는 양의 허수축($w = 0 \sim \infty$)이므로 이를 가지고 전달함수에 사상한 결과는 해당 전달함수의 주파수 응답인 보드 플롯이 전부 포함하고 있기 때문입니다.
정리하자면, 보드 플롯은 $w = 0 \sim \infty$ 에서의 주파수 응답인데 (a$\rightarrow$b)의 사상은 양의 허수축($s = jw$, $w = 0 \sim \infty$)을 전달함수에 대입했을 때 결과로 나오는 복소수들이 그리는 궤적이기 때문이에요.
어떤 전달함수의 보드 플롯이 위와 같다고 합시다.
여러 주파수 A~E에서의 주파수 응답 크기와 위상 정보를 보드 플롯에서 읽어올 수 있습니다.
즉, $s = jw$ $(w = 0.1, 1, 3, 10 ,100)$의 전달함수 대입 결과가 각각의 $|G|\angle{G}$가 되겠네요. 주파수가 증가하는 순서인 A$\rightarrow$E로 궤적 방향을 정해줍시다.
각각의 $|G|\angle{G}$를 가지고 복소평면에 표시하면 위와 같습니다.
$w$가 증가하며 $|G|$가 0으로 수렴하므로 E점을 넘어서 $w > 100 (rad/s)$부터는 굳이 자세하게 그리지 않습니다.
실수 축 대칭으로 플롯을 한번 올려주면 궤적 (a$\rightarrow$b)와 (c$\rightarrow$a)의 사상을 다 찾은 거네요. 대칭시킬 때 궤적의 방향은 반대가 됩니다. 주파수 변화 방향이 반대니까요.
그러면 이제 궤적 (b$\rightarrow$c)의 사상이 남았습니다.
그런데 사실, 이 예제의 경우 궤적 (b$\rightarrow$c)의 사상은 굉장히 쉽게 찾을 수 있습니다. 먼저 이 예제로 그려보고 일반화로 넘어갈게요.
예제의 전달함수는 s가 무한대로 감에 따라 $|G|$는 0으로 수렴합니다. 즉 궤적 (b$\rightarrow$c)구간의 사상 결과는 거의 원점에 위치한다고 볼 수 있어요. 이 때 위상은 의미가 없습니다. 사상된 궤적이 어떤 식으로 회전을 하던 거의 원점에 착 달라붙어있을 테니까요.
이 궤적은 나이퀴스트 플롯을 하루종일 확대해도 보지 못할 겁니다. 당연히 저희의 중대사인 나이퀴스트 안정도 판별에서, 이 궤적은 (-1,0) 지점을 지나는지의 여부에도 전혀 영향을 미치지 않아요.
앞서 궤적 (a$\rightarrow$b)와 (c$\rightarrow$a)의 사상 결과를 확인했는데, 사실상 이 결과만 두고 나이퀴스트 플롯을 다 그렸다고 해도 무방합니다.
여기서 저희는 중요한 통찰을 하나 얻습니다. (영점 개수) < (극점 개수)라서 $\lim_{s\to\infty} |G(s)| = 0$인 strictly proper 전달함수는 보드 플롯만 가지고 나이퀴스트 플롯을 쉽게 그릴 수 있습니다.
그러면 (영점 개수) = (극점 개수)인 proper form과 (영점 개수) > (극점 개수)인 improper form 전달함수의 나이퀴스트는 어떻게 그려야 할까요?
일단 improper form 전달함수는 물리적으로 구현할 수 없습니다.. 이걸 만들면 노벨상을 받을 겁니다.
그러면 저희의 관심사는 proper form으로 가겠네요.
proper form에서는 $\lim_{s\to\infty} |G(s)| = c$ (c is finite constant) 임을 알 수 있습니다, 분모와 분자의 차수가 같으니까요. c가 0과 가깝다고 단정할 수 없으니 이제 위상을 신경써야겠습니다.
그런데!!
위 그림에서 설명하듯이, (영점 개수) = (극점 개수)이면 궤적 (b$\rightarrow$c)의 사상된 궤적의 위상은 심플하게 0도입니다.
왜냐하면 $r = \infty$라서, 각 pole과 zero의 관점에서 궤적 위의 점이 갖는 위상은 다 같다고 볼 수 있습니다. (pole과 zero의 위치는 다 다르지만 무한대의 어느 점에서 보면 pole과 zero가 한 점에 모여있는 것으로 approximation합니다.)
zero는 분자에, pole은 분모에 같은 수만큼 위치하기 때문에 전체 전달함수 기준에서 위상은 0이 되겠네요.
즉 사상된 궤적은 점 복소평면의 점 (c, 0)에 머물게 됩니다.
그런데 애초에 점 (c, 0)는 보드 플롯을 따라 궤적 (a$\rightarrow$b)를 사상할 때 $w = \infty$에서 이미 도달한 점입니다.
점 (c, 0)에 도달해 놓고 더 그릴 필요가 없으니, 결국 또 보드 플롯만 가지고 나이퀴스트를 그릴 수 있다는 소리가 되네요!
결론을 내보자면, (영점 개수) <= (극점 개수)인 전달함수의 나이퀴스트 플롯은 보드 플롯만 가지고 직관적으로 그려낼 수 있습니다. 익숙해지면 빠르게 그냥 슥슥 그려낼 수 있어요.
** 여기서 하나 주의할 점은, 허수축에 pole이 존재하는 시스템은 위의 방법만으로 나이퀴스트 플롯을 그릴 수 없습니다.
허수축에 pole이 존재하면, 무한 반원 궤적을 해당 pole들을 우회하도록 변형해 사상시키게 되는데요, 이때 pole들을 우회하는 지점에서의 사상 결과는 보드 플롯으로는 알 수가 없습니다. 이 구간은 정석적인 방법으로 나이퀴스트를 그려야 합니다. 이 점만 주의해주시면 됩니다.
빨간 부분이 정석적으로 나이퀴스트를 그릴 부분이고, 파란 부분은 보드 플롯으로 도출할 수 있는 구간입니다.
하지만 대부분 문제에서 보드 $\rightarrow$ 나이퀴스트를 물을 때는 허수 pole이 없는 상황을 제시하니 크게 걱정하지 않으셔도 될 것 같습니다.
감사합니다!!