변압기의 자화 인덕턴스(Magnetizing Inductance)는 무엇인가

오늘은 Practical 변압기를 이해하기 위한 필수적인 요소인 자화 인덕턴스(magnetizing inductance)에 대해 알아보겠습니다.

 

 

변압기에 대한 개념 자체는 중학생때부터 배우는 것으로 기억합니다. 교류전압을 변압하는 장치로써 간단하게 양쪽의 권수 비에 의해 변압이 된다고 배웠는데요.

 

사실 변압기의 역할 자체는 직관적이고 전압 비를 계산하는것도 어렵지 않습니다.

 

하지만 변압기는 굉장히 복잡한 장치입니다 공부할수록 끝이 없어요..

 

두가지 변압기 등가 회로

 

일단 그림 왼쪽의 ideal transformer가 변압기의 가장 간단한 등가 회로인데요.

 

1차측(Primary side)와 2차측(Second side)의 전압 및 권선비가 동일하다는 것, 즉

 

$\frac{V_p}{V_s}=\frac{N_p}{N_s}$가 성립하게 됩니다.

 

하지만 실제 변압기를 전력변환장치에 사용할 때는 자화 인덕턴스 $L_m$의 존재의 고려가 필수적입니다. 그렇다면 등가 회로는 오른쪽 그림처럼 자화 인덕터와 ideal transformer의 병렬 연결로 표현하게 되는데요. 특히 절연형 컨버터를 분석할 때는 해당 등가 회로를 사용합니다.

 

그럼 바로 이 자화 인덕턴스란 무엇인지를 알아봅시다. 이어질 설명은 렌츠의 법칙과 자속의 작용을 설명합니다.

 

변압기에서 1차측과 2차측의 자속 결합

 

 

위의 그림과 같이 1차측과 2차측이 코어를 통해 자기적으로 결합되어 있습니다.

 

양 사이드는 코어의 자속 ${\varphi }_c$을 공유합니다. 유실되는 Leakage 자속은 없다고 가정합니다. 

 

1차측에 전원을 인가하면 $i_p$가 흐르며 자속이 형성됩니다. 형성된 자속은 1차측과 2차측에 전압(기전력)을 유도합니다.

 

위 그림에서 $i_p$가 만드는 자속의 방향이 ${\varphi }_c$와 같습니다.

 

솔레노이드 / 코일의 전류 방향과 자기장 방향

 

코일의 전류-자속방향은 위의 오른손 법칙으로 확인하면 알 수 있습니다.

 

그리고 렌츠의 법칙 $v=-N\frac{d\varphi }{dt}$을 기억합시다. 음의 부호는 자속의 변화를 방해하는 방향으로 전압이 유도됨을 의미합니다.

 

즉 $i_p$에 의해 코어에 자속 ${\varphi }_c$이 형성되고 이를 방해하는 방향으로 1차측과 2차측에 전압이 유도됩니다.

 

오른손 법칙을 적용하면 $v_p=N_p\frac{d{\varphi }_c}{dt}$ 및 $v_s=N_s\frac{d{\varphi }_c}{dt}$입니다.

 

왜냐하면 기전력은 또 하나의 전원이기 때문입니다. 배터리처럼 기전력은 -극에서 +극으로 전류를 내보내려고 할 겁니다.

 

그래서 2차측 기전력 $v_s=N_s\frac{d{\varphi }_c}{dt}$이 도트에서 빠져나가는 $i_s$를 만들게 됩니다.

 

도트에서 빠져나가는 방향의 전류가 ${\varphi }_c$를 감소시키는 방향임을 확인하세요.

 

같은 원리로 1차측 기전력 $v_p$ 도 $i_p$와 반대 방향의 전류를 내보내려는 방향으로 형성됩니다.

 

그리고 결국 앞선 두 식 $v_p=N_p\frac{d{\varphi }_c}{dt}$ 과 $v_s=N_s\frac{d{\varphi }_c}{dt}$로부터 변압기 전압비 $\frac{V_p}{V_s}=\frac{N_p}{N_s}$ 가 도출되는 것이죠.

 

지금까지가 기본적인 변압기의 출력 원리입니다.

 

 

 

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자속과 코어 면적 $S$ 및 길이 $l_m$

 

자 다음으로는 위의 그림에서 변압기 코어에 앙페르 법칙을 적용해봅시다. 자화 인덕턴스는 여기서 나오게 됩니다.

 

앙페르법칙 $i=\oint Hdl$이고 자속 ${\varphi }_c$를 형성하는 자기장의 세기를 $H_c$라 합시다.

 

코일 한바퀴에 앙페르 법칙을 적용합니다. Leakage를 무시하면 $i_p{N}_p-i_s{N}_s=H_c{l}_m$입니다. $i_p$와 $i_s$의 자속 생성 방향이 다르므로 뺄셈이 됩니다.

 

$i_p$에 대해 정리하면 $i_p=\frac{N_s}{N_p}{i}_s+\frac{H_c{l}_m}{N_p}$입니다.

 

여기서, 사실 ${\varphi }_c$의 생성은 $i_p$와 $i_s$의 상호작용의 결과이지만 "자속 ${\varphi }_c$를 1차측에서 전부 만들어낸다고(자화) 가정"합니다.

 

이를 위해서 자화 전류 $i_m=\frac{H_c{l}_m}{N_p}$으로 정의합니다.

 

1차측의 쇄교자속(flux linkage) ${\lambda }_p=N_p{\varphi }_c=N_p{\mu }_r{\mu }_0{H}_{c}S$이며

 

인덕턴스는 전류와 생성된 쇄교자속의 비례상수로서, ${\lambda }_p$와 $i_m$의 인덕턴스를 계산하면

 

$L_m=\frac{{\lambda }_p}{i_m}={\mu }_r{\mu }_0\frac{S}{l_m}{N}_p^2$가 나옵니다.

 

바로 이 인덕턴스가 "자화"와 관련된 인덕턴스여서 자화 인덕턴스라고 정의합니다.

 

앞선 식 $i_p=\frac{N_s}{N_p}{i}_s+\frac{H_c{l}_m}{N_p}$ 에서 $i_m=\frac{H_c{l}_m}{N_p}$를 코어를 자화시키는 1차측의 "자화 전류분"으로 생각하는 것입니다. 그리고 나머지 $i_p$와 $i_s$의 관계는 ideal transformer 관계로 간단화할 수 있습니다.

 

해당 가정을 통해 만든 등가모델은 절연형 컨버터의 동작을 설명하는데 효과적입니다. 같은 장치라도 편의에 따라 다양한 종류의 모델이 존재할 수 있습니다. 자화 인덕턴스 모델은 컨버터 동작을 이해하는데 적절한 모델인 것이죠.

 

자화 인덕터를 고려한 변압기 등가 회로

 

결과적으로 위와 같이 1차측에서 공급되는 $i_p$는 자화전류 $i_m$과 ideal transformer로 들어가는 전류 $\frac{N_s}{N_p}{i}_s$의 합입니다. 

 

그리고 $B_c={\mu }_r{\mu }_0{H}_c$이 성립하기에 소위 투자율이 무한대인 Ideal transformer에서 $H_c=0=i_m$이 됩니다. 그래서 자화 전류를 무시할 수 있는 것입니다.

 

그리고 위의 회로에서 2차측이 open되어도 1차측 변압기가 인덕터로 남아 있다는 것을 이해할 수 있습니다.

 

자화 인덕턴스 값은 간단하게 2차측을 무시했을 때 1차측에서 본 인덕터 값이기도 합니다.

 

따라서 측정도 간단히 할 수 있습니다. 2차측을 open시키고 1차측에서 LCR미터로 L값을 재면 됩니다.

 

1차측 자화 인덕턴스의 측정

 

 

앞서 언급했듯이 자화 인덕터의 존재는 절연형 컨버터의 동작 핵심입니다.

 

1차측 자화 인덕터를 통해 에너지의 저장과 전달 과정을 간단화할 수 있기 때문입니다.

 

Flyaback 및 Forward등의 여러 절연형 컨버터에 다룬 제 포스팅도 읽어보시면 좋겠습니다.

 

감사합니다!!

 

 

 

 

 

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